משפט תאלס: הסבר פשוט עם דוגמה מלאה

הקדמה

משפט תאלס שייך לתחום הגיאומטריה של המישור (קרי, גיאומטריה אוקלידית), ובפרט לנושא של פרופורציה ודמיון בין משולשים. הרעיון הבסיסי מאחורי המשפט הוא שאם יש לנו שני ישרים שנחתכים (כמו זרועות של משולש או זווית), ומעבירים ביניהם ישרים מקבילים - הישרים המקבילים חוצים את שוקי הזווית באותה פרופורציה (באותו יחס חלוקה).

משמעות משפט תאלס

אם במשולש ABC מעבירים ישר DE המקביל לצלע BC (כאשר נקודה D נמצאת על הצלע AB ונקודה E נמצאת על הצלע AC), אזי מתקיימים יחסי הפרופורציה הבאים:

1. משפט תאלס הבסיסי (חלק לחלק):

1. משפט תאלס הרחבה א' (חלק לכל הצלע):

1. משפט תאלס הרחבה ב' (כולל הישרים המקבילים):

הערה - קיימים מקרים בהם ניעזר במשפט תאלס גם בתבנית 'שעון חול' המוצגת מטה. גם במקרה זה משפט תאלס והרחבותיו (א' ו-ב') תקפים.

משפט תאלס ההפוך

למשפט תאלס קיים משפט הפוך. המשפט ההפוך משמש להוכחה ששני קטעים או ישרים הם מקבילים זה לזה. המשפט קובע כי אם ישר חותך שתי צלעות של משולש ומחלק אותן לקטעים פרופורציוניים (בעלי אותו יחס), אז הוא מקביל לצלע השלישית של המשולש.

מתי משתמשים במשפט תאלס ומתי לא?

נענה על השאלה תוך הפרדה לשלושה מקרים נפוצים:

1. נתונים ישרים מקבילים בתוך משולש או בין ישרים נחתכים ומבקשים למצוא אורך של קטע מסוים - נשתמש במשפט תאלס. השימוש העיקרי במשפט הוא למציאת אורכי קטעים חסרים.
2. לא נתונים ישרים מקבילים בשאלה - לא נשתמש במשפט תאלס. המשפט מחייב ישרים מקבילים!
3. חישוב זוויות - לא נשתמש במשפט תאלס. המשפט עוסק ביחסי אורכים ולא בחישוב זוויות.

דוגמה לשימוש במשפט תאלס

שאלה:

במשולש ABC, הקטע DE מקביל לצלע BC (נתון DE || BC). הנקודה D נמצאת על הצלע AB, והנקודה E נמצאת על הצלע AC. נתון כי אורך הקטע AD הוא 6 ס"מ, אורך הקטע DB הוא 4 ס"מ, אורך הקטע AE הוא 9 ס"מ ואורך הקטע DE הוא 7.5 ס"מ.

1. חשבו את אורך הקטע EC.
2. חשבו את אורך הצלע BC.

פתרון:

נתון כי DE || BC, ולכן לפי משפט תאלס מתקיים היחס:

באמצעות יחס זה נוכל למצוא את אורך הקטע EC. נציב את הנתונים הידועים, ונקבל:

כדי למצוא את אורך צלע BC, עלינו להשתמש בהרחבה ב' של משפט תאלס:

ניעזר בשוויון בין היחס של קטע DE לצלע BC לבין היחס של קטע AD לצלע AB. נשים לב, ניתן לחשב את צלע AB כסכום הקטעים AD ו-DB:

באמצעות יחס זה נוכל למצוא את אורך צלע BC. נציב את הנתונים הידועים, ונקבל:

סיכום

משפט תאלס שייך לתחום הגיאומטריה, ובפרט לנושא של פרופורציה ודמיון בין משולשים. אם יש שני ישרים שנחתכים, ומעבירים ביניהם ישרים מקבילים - הישרים המקבילים חוצים את שוקי הזווית באותה פרופורציה. במילים אחרות, אם במשולש מעבירים ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש, אז מתקיימים יחסי פרופורציה בין הקטעים המרכיבים את צלעות המשולש, בין קטע מתוך צלע והצלע עצמה ובין הישר המקביל לצלע השלישית והצלע השלישית. יש לשים לב כי קיימים מקרים בהם ניעזר במשפט תאלס גם בתבנית 'שעון חול'.

למשפט תאלס קיים משפט הפוך. המשפט ההפוך משמש להוכחה ששני קטעים או ישרים הם מקבילים. על פי המשפט, אם ישר חותך שתי צלעות של משולש ומחלק אותן לקטעים פרופורציוניים, אז הוא מקביל לצלע השלישית של המשולש.

תרגילי סיכום

תרגיל 1: נתון במשולש ABC קטע DE מקביל לצלע BC כך שנקודה D נמצאת על צלע AB ונקודה E נמצאת על צלע AC. בנוסף, נתון: קטע AD הוא 3 ס"מ, קטע BD הוא 5 ס"מ וקטע EC הוא 10 ס"מ. מצאו את אורך הקטע AE.

תשובה סופית - אורך קטע AE הוא 6 ס"מ.

תרגיל 2: במשולש ABC נתון DE || BC (נקודה D נמצאת על צלע AB ונקודה E נמצאת על צלע AC). נתון: AD = 4 ס"מ, AB = 12 ס"מ ו-BC = 18 ס"מ. מצאו את אורך הקטע DE.

תשובה סופית - אורך קטע AE הוא 6 ס"מ.