נגזרת של ln(x) - הכלל והטעויות הנפוצות

הקדמה

פונקציית ln(x) היא פונקציה ממשפחת הפונקציות הלוגריתמיות, והיא ההפוכה לפונקציה האקספוננציאלית e^(x) (פונקציה מעריכית עם בסיס e). פונקציית ln(x) מוגדרת עבור ערכים חיוביים בלבד של x.

בעוד שנגזרות של פולינומים מורידות את החזקה ב-1, הנגזרת של ln(x) מעבירה אותנו מהעולם הלוגריתמי לעולם הפונקציות הרציונליות (שברים). למידת הנגזרת של ln(x) היא מרכיב בסיסי וקריטי לפתרון בעיות חקירת פונקציות ובעיות קיצון במסגרת הבגרות.

נגזרת של ln: כיצד גוזרים פונקציות מורכבות?

הכלל הבסיסי לנגזרת של פונקציית ln(x) הוא:

כאשר בתוך ה-ln ישנה פונקציה פנימית u(x), משתמשים בכלל השרשרת (כלל הנגזרת הפנימית):

דוגמה ראשונה - נגזרת פונקציית ln(x) מורכבת:

הבה נגזרו את הפונקציה:

נזהה כי הפונקציה הפנימית בתוך ה-ln היא:

לכן, הנגזרת הפנימית (של u(x)) היא:

ובסך הכול, על פי הנוסחה שהוצגה קודם לכן לנגזרת של פונקציית ln(u(x)) נקבל:

דוגמה שנייה - שילוב עם נגזרת מנה:

הפעם, נגזרו את הפונקציה:

נזהה כי הפונקציה הפנימית בתוך ה-ln היא:

זוהי פונקציית מנה, ולכן נגזרתה מבוססת על נגזרת מנה. נוסחת נגזרת מנה היא:

לאחר יישום נוסחת נגזרת מנה, נקבל כי הנגזרת של הפונקציה u(x) ניתנת לכתיבה באופן הבא:

כעת, נפשט את הנגזרת של הפונקציה g(x) תוך שימוש בחוקי שברים (כלומר, חילוק שברים זה כמו כפל בהפכי של השבר שבמכנה):

טעויות נפוצות

נציין כאן מספר טעויות נפוצות של תלמידים בגזירת פונקציית ln(x) והרכבותיה:

1. שכחת הנגזרת הפנימית - לדוגמה, גזירת ln(5x) כ-1/(5x) במקום 5/(5x) = 1/x.
2. גזירת תוכן הסוגריים בלבד: שכחת כתיבת המכנה u(x) עבור פונקציות ln מורכבות.
3. השארת ln בנגזרת - כאשר גוזרים פונקציית ln(x) או הרכבות שלה ה-ln “נעלם” בנגזרת.
4. אי-שימוש בחוקי לוגריתמים - קיימים מקרים בהם הפונקציה תהיה קלה יותר לגזירה אם לפני הגזירה בפועל מבצעים חוקי לוגריתמים. למשל הנגזרת של ln(x^5) קלה יותר לביצוע אם קודם לפי חוקי לוגריתמים כותבים את הפונקציה הזו כ-5ln(x).

סיכום

כדי לגזור פונקציית ln והרכבותיה, מזהים את הביטוי בתוך הסוגריים, גוזרים אותו ושמים אותו במונה, ואת הביטוי המקורי שבתוך ה-ln שמים במכנה. תמיד מומלץ לבדוק אם ניתן לפשט את הביטוי באמצעות חוקי לוגריתמים לפני תחילת הגזירה.

תרגילים מסכמים

1. גזרו את הפונקציה:

   

   פתרון:

   

   גזרו את הפונקציה:

   

   פתרון:

   

2. גזרו את הפונקציה:

   

   רמז - ניתן לפשט את הפונקציה h(x) באמצעות שימוש בחוקי לוגריתמים - החזקה (4) בפונקציה הפנימית ניתנת להורדה ככפל עם ה-ln.

   פתרון: