משפט חוצה זווית

הגדרות

ח"ז (קיצור לחוצה זווית) במשולש - קטע היוצא מקודקוד משולש ומסתיים בצלע מול הקודקוד, ומחלק את זווית הקודקוד לשתי זוויות שוות. לדוגמה, במשולש ABC קטע BD הוא ח"ז B אם זווית אלפא שווה לזווית בטא.

משפט ח"ז - ח"ז במשולש מחלק את הצלע שחוצה הזווית “פוגש” לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס בין שתי הצלעות האחרות של המשולש, אשר יוצרות את הזווית. לדוגמה, נניח כי במשולש ABC שהוצג מעלה קטע BD הוא ח"ז, אז השוויון הבא מתקיים:

יישום משפט ח״ז (חוצה זווית)

להלן דוגמה ליישום משפט ח"ז: נתון משולש ABC. קטע CD הוא ח"ז C. נתון כי קטע AD שווה ל-6 ס״מ וקטע BD שווה ל-4 ס״מ. כמו כן, צלע AC שווה ל-12 ס״מ. צריך למצוא את גודל צלע CB.

נתון כי CD הוא ח״ז C, ולכן ניתן להשתמש במשפט ח״ז במשולש ABC.

על פי המשפט, נקבל את השוויון הבא:

נציב את הנתונים של השאלה. נזכור כי יחידות המידה הן בסנטימטרים.

נבצע כפל בהצלבה כדי לפשט את המשוואה.

נחלק את שני האגפים ב-6. נקבל כי אורך צלע CB הוא 8 ס״מ כדלקמן:

משפט הפוך למשפט ח״ז (חוצה זווית)

אם קטע יוצא מקודקוד במשולש ומחלק את הצלע שמולו ביחס השווה ליחס בין שתי הצלעות הסמוכות לזווית, אז הקטע הוא חוצה זווית.

לדוגמה, נחזור למשולש ABC שהוצג בתחילת המאמר, אך נרצה להוכיח כי קטע BD הוא ח"ז. הפעם, נתון כי קטע AD הוא 3 יחידות אורך, קטע DC הוא 4 יחידות אורך וצלעות AB ו-BC הן באורך 6 יחידות אורך ו-8 יחידות אורך בהתאמה.

האם הקטע BD הוא חוצה הזווית ABC? התשובה היא כן. למה? אם נשים לב, היחס בין קטע AD לבין קטע DC הוא שלושה רבעים. היחס בין צלע AB לבין צלע BC הוא שש שמיניות. אבל, שש שמיניות ושלושה רבעים הם אותו יחס. לכן, לפי משפט הפוך למשפט ח"ז, קטע BD הוא חוצה הזווית ABC במשולש ABC. לכן, בשרטוט ניתן להסיק כי זווית אלפא שווה ל-30 מעלות.

סיכום

ח"ז במשולש מחלק את הצלע שחוצה הזווית חותך לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס בין שתי הצלעות האחרות של המשולש.

כדי להשתמש במשפט, נצטרך לבדוק אם בשאלה נתון ח"ז או שבאמצעות נתוני השאלה נוכל להוכיח שהזווית נחצית (כלומר, מחולקת לשתי זוויות שוות).

למשפט ח"ז יש משפט הפוך המורה כי אם קטע המחבר קודקוד וצלע במשולש יוצר על הצלע קטעים אשר היחס ביניהם הוא כמו היחס בין הצלעות היוצרות את הזווית, הקטע הוא ח"ז.

מתקשים בגאומטריה או בהוכחות? מורי המתמטיקה של Class A מסבירים את החומר שלב אחר שלב, בשיעורים פרטיים פרונטליים או אונליין.

תרגילים

א. נתון משולש ABC. קטע BD הוא ח"ז B. נתון כי אורך קטע AD הוא 3 ס״מ ואורך קטע DC הוא 6 ס״מ. כמו כן, אורכה של צלע AB הוא 8 ס״מ. מצאו מהו אורך צלע BC.

תשובה סופית - 16 ס״מ.

ב. נתון משולש ABC. מידות צלעות AB ו-AC וכמו כן מידות קטעים BD ו-CD נתונות בשרטוט. בנוסף, נתון כי זווית B היא 80 מעלות וזווית C היא 40 מעלות.

א) הוכיחו כי AD הוא ח"ז A.

רמז - יש להשתמש במשפט הפוך למשפט ח"ז.

ב) חשבו את גודל זווית BAD.

רמז - יש להשתמש בסכום זוויות במשולש. תשובה סופית - 30 מעלות.