משפט פיתגורס: איך לזהות מתי אפשר להשתמש בו

הקדמה

משפט פיתגורס הינו משפט בסיסי ויסודי בגאומטריה, שתלמידים נתקלים בו כבר בחטיבת הביניים. מטרת מאמר זה היא להציג את המשפט ולפשט את השימוש בו.

משפט פיתגורס

משפט פיתגורס תקף אך ורק עבור משולש ישר זווית. המשפט עוזר לנו לחשב את היתר או אחד הניצבים במשולש, תחת ההנחה ששאר הצלעות נתונות לנו. לדוגמה, החישוב למציאת היתר מבוצע באופן הבא:

הערה חשובה - היתר במשולש ישר זווית הוא הצלע מול הזווית הישרה (בשרטוט מעלה זו הצלע שסומנה באות c). בנוסף, יש לשים לב כי זו הצלע הארוכה ביותר מבין שלושת הצלעות במשולש ישר זווית.

מהי משמעות המשפט? להלן שרטוט נוסף של המשולש שהוצג, אך עם שלושה ריבועים הבנויים על כל אחת מצלעות המשולש:

למעשה, אם נסכום את שטח הריבוע שצלעו a ואת שטח הריבוע שצלעו b, נקבל בדיוק את שטח הריבוע שצלעו c.

יישום משפט פיתגורס

כיצד נשתמש במשפט פיתגורס? תחילה, נזהה שמדובר במשולש ישר זווית. לאחר מכן, נשים לב כי הצלע מול הזווית הישרה היא היתר. לפי משפט פיתגורס - ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים.

דוגמה - נתון המשולש הבא:

נרצה למצוא את הצלע שסומנה ב-x. נשים לב כי המשולש הוא ישר זווית. למה? סכום הזוויות במשולש הוא תמיד 180 מעלות. נתונות שתי זוויות במשולש והן 30 מעלות ו-60 מעלות. לכן, הזווית השלישית חייבת להיות זווית ישרה (90 מעלות) כדי שסכום שלוש הזוויות יהיה 180 מעלות.

הצלע מול הזווית הישרה היא היתר. בדוגמה זו היתר אם כך הוא 10 יחידות אורך.

בהתאם למשפט פיתגורס, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. כלומר:

משפט הפוך למשפט פיתגורס

עד כה דנו בשאלה מתי נכון להשתמש במשפט פיתגורס. אבל, האם ניתן להשתמש במשפט פיתגורס כדי לבדוק אם המשולש הוא ישר זווית? התשובה היא כן.

כלומר, כדי לבדוק אם משולש שאורכי צלעותיו נתונים הוא ישר זווית, מסמנים את הצלע הארוכה ביותר כיתר. אם סכום ריבועי שתי הצלעות האחרות שווה לריבוע הצלע הארוכה ביותר, המשולש הוא ישר זווית.

סיכום

משפט פיתגורס תקף אך ורק עבור משולש ישר זווית. לפעמים בשאלות יהיה נתון שהמשולש אכן ישר זווית ולפעמים נצטרך להבין זאת מתוך נתוני השאלה. לפי משפט פיתגורס - ריבוע היתר שווה לסכום הניצבים בריבוע. נזכור - היתר הוא הצלע מול הזווית הישרה במשולש.

כיצד נדע שהמשולש הוא ישר זווית? אם נתונות שתי זוויות במשולש, אפשר למצוא את השלישית על ידי סכום זוויות במשולש. אם נתונים אורכי שלוש הצלעות, אפשר לבדוק זאת באמצעות המשפט ההפוך למשפט פיתגורס.

שאלות

שאלה 1 - נתון משולש ישר זווית. אורך היתר 13 מטרים ואורך אחד הניצבים 5 מטרים. מצאו את אורך הניצב השני.

תשובה סופית - אורך הניצב השני הוא 12.

שאלה 2 - נתון משולש שווה שוקיים שזווית הבסיס שלו היא 45 מעלות. א. האם המשולש ישר זווית? הסבירו.

רמז - לבדוק האם אחת הזוויות היא זווית ישרה על סמך סכום זוויות במשולש.

ב. נתון כי אורך השוק 10 ס״מ. מצאו את אורך בסיס המשולש (יש לעגל את התשובה לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

תשובה סופית - אורך הבסיס הוא 14.14 ס״מ.