נגזרת מנה: איך משתמשים בנוסחה בלי להתבלבל בסימנים

הקדמה

נגזרת מנה משמשת אותנו כאשר אנו נדרשים לגזור פונקציה הבנויה ממנה של שתי פונקציות (אחת במונה והשנייה במכנה). בשונה מחיבור או חיסור, הנגזרת של מנה אינה שווה לנגזרת המונה חלקי נגזרת המכנה. בלב הנוסחה עומד סימן המינוס שבמונה, שהוא המקור העיקרי לבלבולים וטעויות של תלמידים.

נגזרת מנה: כיצד גוזרים פונקציית מנה?

הנוסחה לגזירת מנה היא:

במילים: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, וכל זה חלקי המכנה בריבוע.

שיטת הגזירה למניעת טעויות:

הכלל שחובה לזכור: מתחילים מנגזרת המונה.

שלבי השיטה:

1. רשמו בצד בצורה מסודרת את f(x) ו-g(x) ואת הנגזרות שלהן.

2. הכינו את תבנית הנגזרת מראש כדלקמן:

   
3. הוסיפו סוגריים מסביב לכל ביטוי המורכב מיותר מאיבר אחד.

שימו לב: בפונקציית מנה המכנה חייב להיות שונה מאפס. לכן לפני הגזירה יש לבדוק אילו ערכי x מאפסים את המכנה ולהוציא אותם מתחום ההגדרה.

דוגמה מודרכת עם שלבי פתרון:

נגזור את הפונקציה הבאה:

1. נגזור את הפונקציה שבמונה ובמכנה בנפרד:

   

2. נציב בנוסחה של נגזרת מנה:

   
3. לבסוף, נפשט את הנגזרת על ידי פתיחת סוגריים במונה וכינוס איברים:

טעויות נפוצות

נעלה כאן מספר טעויות נפוצות של תלמידים:

1. היפוך סדר הנגזרות במונה - יש להתחיל במכפלת נגזרת המונה במכנה.
2. שכחת סוגריים לאחר סימן המינוס - אם יש סימן מינוס לפני סוגריים, הוא משנה את הסימן של כל האיברים שבסוגריים.
3. פתיחת סוגריים במכנה - אין צורך לפתוח את הפונקציה שבמכנה, שכן הדבר אינו משפיע על מציאת הנקודות החשודות לקיצון (חישוב הערכים שמאפסים את הנגזרת) והשארתה בריבוע (קרי, בחזקת 2) מקלה על בדיקת תחום ההגדרה.
4. צמצום אסור - צמצום איברים מהמונה עם המכנה לפני פירוק מלא של המונה לגורמים.

סיכום

כדי לשלוט בגזירת פונקציית מנה ללא טעויות סימן - גזרו תחילה את המונה והכפילו במכנה. לאחר מכן חסרו ממכפלה זו את מכפלת המונה בנגזרת המכנה (שימו לב לסימן המינוס של החיסור). לבסוף, חלקו את התוצאה בריבוע המכנה. עבודה עם סוגריים ורישום הרכיבים בצד מצמצמת טעויות.

תרגול מסכם

1. גזרו את הפונקציה הבאה:

   

   פתרון:

   

2. גזרו את הפונקציה הבאה:

   

   פתרון:

   

3. גזרו את הפונקציה הבאה:

   

   פתרון: