סכום סדרה הנדסית: איך מזהים סדרה ואיזו נוסחה בוחרים

מבוא

סדרות הן נושא מרכזי במתמטיקה, וסדרה הנדסית היא אחת הסדרות החשובות שנלמדות בתיכון. במסגרת התיכון לומדים על סדרה חשבונית והנדסית. בפוסט זה נסביר כיצד מוכיחים שסדרה היא הנדסית וכיצד מחשבים סכום של סדרה זו.

מהי סדרה הנדסית?

סדרה הנדסית היא סדרה, כלומר אוסף של איברים הממוקמים זה לאחר זה בסדר מסוים. אבל, מה שמייחד את הסדרה ההנדסית הוא שהיחס בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע. היחס הזה נקרא ה״מנה״ של הסדרה, ומסומן בדרך כלל באות q.

דוגמה לסדרה הנדסית:

למה זו סדרה הנדסית? בגלל שאם נבדוק את ה״קפיצה״ מאיבר לאיבר הבא בסדרה הנדסית, נשים לב שכל איבר עוקב גדול מהאיבר הקודם פי 2. שימו לב, המילה ״פי״ הודגשה כי המנה מגדילה או מקטינה את האיבר העוקב בכפל או בחילוק ביחס לאיבר הקודם לו בהתאמה.

כיצד מוכיחים שסדרה היא סדרה הנדסית?

כדי להוכיח שסדרה היא סדרה הנדסית, נצטרך להוכיח כי היחס בין כל איבר עוקב לבין האיבר הקודם לו נותר קבוע. נשים לב, המילה “כל” הודגשה, שכן לא מספיק להראות לדוגמה שהיחס בין האיבר השלישי לבין האיבר השני והיחס בין האיבר הרביעי לבין האיבר השלישי הם אותו הדבר. הדבר צריך להתקיים לכל זוג איברים סמוכים.

כיצד בכל זאת ניתן להוכיח את היותה של הסדרה הנדסית בקלות? נסמן איבר כלשהו בסדרה בתור an ואת האיבר העוקב לו בתור an+1. אם נצליח להראות שהיחס בין שני האיברים הללו הוא q, אז הסדרה היא אכן הנדסית. למה זה מספיק? כי כאשר מסמנים את האיברים במיקום כללי (מיקום n ומיקום n+1), הבדיקה שאנו עושים נכונה לכל זוג איברים עוקבים בסדרה.

דוגמה - תהי סדרה ובה האיברים:

כיצד נראה כי הסדרה היא סדרה הנדסית? נשים לב כי 3^n הוא האיבר הכללי (במיקום n) של הסדרה הנתונה, שכן האיבר הראשון בה הוא 3 (3^1), האיבר השני בה הוא 9 (3^2) וכך הלאה. לכן, האיבר הכללי, an, יהיה 3^n והאיבר העוקב, an+1, יהיה באופן דומה 3^(n+1). נבדוק מהו היחס בין שני האיברים האחרונים שהצגנו:

אכן, היחס בין שני האיברים הוא קבוע. בהתאם לכך, הוכחנו כי הסדרה הנתונה היא סדרה הנדסית. מעבר לכך, מצאנו כי מנת הסדרה היא 3.

סכום סדרה הנדסית

כיצד נוכל למצוא סכום של n איברים עוקבים בסדרה הנדסית? נתחיל במצב שבו האיבר הראשון הוא a1. למצב זה יש נוסחה ידועה, אשר מופיעה אפילו בדף הנוסחאות. הנוסחה היא כדלקמן:

אם נרצה לחשב את הסכום החל מאיבר כלשהו, למשל a3, נציב בנוסחה הנתונה את האיבר הזה במקום a1 אשר מופיע בנוסחה. לדוגמה, עבור הסדרה שהוצגה קודם לכן (שכבר הוכחנו כי היא הנדסית), נמצא את סכום ארבעת האיברים העוקבים החל מאיבר a2. להלן החישוב שצריך לעשות:

נשים לב כי התשובה שהתקבלה הגיונית. חמשת האיברים הראשונים בסדרה הזו הם 3, 9, 27, 81, 243. מוזמנים לבדוק שחיבור האיברים השני, השלישי, הרביעי והחמישי אכן שווה ל-360.

כעת, ישנו מצב מיוחד בו תיתקלו בסדרות הנדסיות שבנוסף מצוין כי הן אינסופיות ומתכנסות. לזוג המילים הללו יש משמעות חשובה לחישוב סכום הסדרה ההנדסית.

מתי סכום של סדרה הנדסית אינסופית מתכנס?

סכום של סדרה הנדסית אינסופית קיים רק כאשר הערך המוחלט של מנת הסדרה קטן מ־1, כלומר:

ובאופן שקול:

במקרה שמבקשים את סכום כל הסדרה ההנדסית, הנוסחה לחישוב הסכום היא:

אך אם מבקשים סכום של מספר סופי של איברים, נדרש להשתמש בנוסחת סכום שהוצגה קודם לכן למקרה הכללי.

סיכום

סדרה הנדסית היא סדרה שבה היחס בין כל שני איברים עוקבים נותר קבוע. סכום מספר מסוים של איברי הסדרה, החל מהאיבר הראשון, יחושב בדרך כלל על פי הנוסחה הבאה:

אולם, אם הסדרה ההנדסית היא אינסופית ומתכנסת, ומבקשים את סכום כל הסדרה, יש להשתמש בנוסחה הבאה:

תרגיל מסכם

נתונה הסדרה הבאה:

א. הוכיחו כי הסדרה היא סדרה הנדסית. מהי מנת הסדרה?

ב. מצאו את סכום 10 האיברים הראשונים בסדרה הזו.